공통수학2평면좌표AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 축에 닿는 경로의 최단 길이

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(5,1)\mathrm{A} ( 5 , 1 ), B(1,7)\mathrm{B} ( 1 , 7 )이 있다. xx축 위의 점 P\mathrm{P}와 yy축 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 AP‾+PQ‾+QB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}}의 최솟값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

점 A\mathrm{A}를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 A′\mathrm{A}', 점 B\mathrm{B}를 yy축에 대하여 대칭이동한 점을 B′\mathrm{B}'이라 하면 A′(5,−1)\mathrm{A}' ( 5 , - 1 ), B′(−1,7)\mathrm{B}' ( - 1 , 7 ) 점 P\mathrm{P}가 xx축 위의 점이므로 AP‾=A′P‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P} 점 Q\mathrm{Q}가 yy축 위의 점이므로 QB‾=QB′‾\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{QB}'} AP‾+PQ‾+QB‾=A′P‾+PQ‾+QB′‾≥A′B′‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}'} \geq \overline{\mathrm{A}' B'} A′B′‾=(5−(−1))2+(−1−7)2=36+64=10\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B'} = \sqrt{( 5 - ( - 1 ) ) ^{2} + ( - 1 - 7 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10 등호는 네 점 A′\mathrm{A}', P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}, B′\mathrm{B}'이 이 순서로 한 직선 위에 있을 때 성립한다. 직선 A′B′\mathrm{A}' B'의 방정식은 y=−43x+173\displaystyle y = - \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}이고 이 직선은 xx축, yy축과 각각 점 (174,0)\displaystyle \left( \frac{17}{4} , 0 \right), (0,173)\displaystyle \left( 0 , \frac{17}{3} \right)에서 만나므로 이러한 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 실제로 존재한다. 따라서 구하는 최솟값은 1010

태그

#최단거리#대칭점#두 점 사이의 거리

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