대수삼각함수의 활용AI기본 문제 (3점 중반)

두 변과 끼인각으로 내접원의 반지름 구하기

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 a=3a = 3, b=5b = 5, ∠C=2π3\displaystyle \angle \mathrm{C} = \frac{\mathit{2 \pi}}{3}일 때, 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이는? [3점] ①34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}②32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}③11④3\displaystyle \sqrt{3}⑤332\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}

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②

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해설

코사인법칙에서 c2=32+52−2×3×5×cos⁡(2π3)=9+25+15=49\displaystyle c ^{2} = 3 ^{2} + 5 ^{2} - 2 \times 3 \times 5 \times \cos \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = 9 + 25 + 15 = 49 c=7c = 7 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이 SS는 S=12×3×5×sin⁡(2π3)=1534\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = \frac{15 \sqrt{3}}{4} 내접원의 반지름의 길이를 rr라 하면 S=12r(a+b+c)\displaystyle S = \frac{1}{2} r ( a + b + c )이므로 1534=12r(3+5+7)=152r\displaystyle \frac{15 \sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} r ( 3 + 5 + 7 ) = \frac{15}{2} r 따라서 r=32\displaystyle r = \frac{\sqrt{3}}{2} 답은 ②

태그

#내접원#삼각형의 넓이#코사인법칙

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