공통수학1복소수AI기본 문제 (3점 중반)

두 복소수의 합·곱과 켤레복소수 성질

문제

두 복소수 α,β\alpha , \beta에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, α‾,β‾\displaystyle \overline{\alpha} , \overline{\beta}는 각각 α,β\alpha , \beta의 켤레복소수) [3점] <보기> ㄱ. α+β\alpha + \beta와 αβ\alpha \beta가 모두 실수이면 α,β\alpha , \beta는 실수이다. ㄴ. αβ‾=α‾β‾\displaystyle \overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \overline{\beta} ㄷ. αβ=0\alpha \beta = 0이면 α=0\alpha = 0 또는 β=0\beta = 0이다. ①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. (반례) α=i,β=−i\alpha = i , \beta = - i일 때 α+β=0,αβ=1\alpha + \beta = 0 , \alpha \beta = 1은 모두 실수이지만 α,β\alpha , \beta는 실수가 아니다. (거짓) ㄴ. α=a+bi,β=c+di\alpha = a + bi , \beta = c + di (a,b,c,da , b , c , d는 실수)라 하면 αβ=(ac−bd)+(ad+bc)i\alpha \beta = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i이므로 αβ‾=(ac−bd)−(ad+bc)i\displaystyle \overline{\alpha \beta} = ( ac - bd ) - ( ad + bc ) i α‾β‾=(a−bi)(c−di)=(ac−bd)−(ad+bc)i\displaystyle \overline{\alpha} \overline{\beta} = ( a - bi ) ( c - di ) = ( ac - bd ) - ( ad + bc ) i (참) ㄷ. α≠0\alpha \ne 0이면 αβ=0\alpha \beta = 0의 양변에 1α\displaystyle \frac{1}{\alpha}를 곱하여 β=0\beta = 0 (참) 따라서 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이므로 답은 ④이다.

태그

#켤레복소수#복소수의 연산#참거짓

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