기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 반원과 내적

문제

좌표평면에서 반원의 호 x2+y2=4(x≥0)x ^{2} + y ^{2} = 4 \left( x \geq 0 \right) 위의 한 점 P(a,b)\mathrm{P} \mathit{\left( a , b \right)}에 대하여 OP⃗∙OQ⃗=2{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}} = 2 를 만족시키는 반원의 호 (x+5)2+y2=16(y≥0)\left( x + 5 \right) ^{2} + y ^{2} = 16 \left( y \geq 0 \right) 위의 점 Q{\mathrm{Q}}가 하나뿐일 때, a+ba + b의 값은? (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [4점] ①125\displaystyle \frac{12}{5}②52\displaystyle \frac{5}{2}③135\displaystyle \frac{13}{5}④2710\displaystyle \frac{27}{10}⑤145\displaystyle \frac{14}{5}

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⑤

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해설

그림과 같이 OP⃗\mathrm{\vec{OP}}위로 OQ⃗\mathrm{\vec{OQ}}의 정사영의 길이가 11이다. 따라서 직선 OP\mathrm{OP}의 기울기는 tan⁡θ=43\displaystyle \tan \theta = \frac{4}{3}이고, a+b=2cos⁡θ+2sin⁡θ=65+85=145\displaystyle a + b = 2 \cos \theta + 2 \sin \theta = \frac{6}{5} + \frac{8}{5} = \frac{14}{5}

태그

#벡터의 내적#정사영#원

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