미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

도함수의 부호와 극댓값 조건

문제

$1 \leq k < l < m \leq 10$ 인 자연수 $k$ , $l$ , $m$ 에 대하여 함수 $f ( x )$ 의 도함수 $f' ( x )$ 가 $f' ( x ) = ( x + 1 ) ^{k} x ^{l} ( x - 1 ) ^{m}$ 일 때, $x = 0$ 에서 $f ( x )$ 가 극댓값을 갖도록 하는 순서쌍 $( k , l , m )$ 의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

$f' ( x ) = ( x + 1 ) ^{k} x ^{l} ( x - 1 ) ^{m}$ 에서 도함수의 부호와 함수의 증감이

$x$	$\cdots$	-1	$\cdots$	0	$\cdots$	1	$\cdots$
$f' ( x )$		0	$+$	0	$-$	0	$+$
$f ( x )$			$\nearrow$	극대	$\searrow$		$\nearrow$

와 같아야 한다. 따라서 $l$ 과 $m$ 은 홀수이다. $1 \leq k < l < m \leq 10$ 을 만족하는 경우는 ㄱ) $k , l , m$ 이 모두 홀수인 경우 : ${} _{5} C _{3} = 10$ ㄴ) $k =$ 짝수, $l , m =$ 홀수인 경우: $k = 2$ 이면 ${} _{4} C _{2} = 6$ $k = 4$ 이면 ${} _{3} C _{2} = 3$ $k = 6$ 이면 ${} _{2} C _{2} = 1$ $\therefore$ $10 + 6 + 3 + 1 = 20$

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