도함수 실근 개수 함수 g(t)

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 도함수 $f' \left( x \right)$의 특징을 찾아 조건을 만족시키는 함수 $f \left( x \right)$를 구할 수 있는가? 이차방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$이 근을 갖지 않는 경우에는 $g \left( t \right)$$= 0$ 이는 조건 (나)에서 $g \left( t \right)$가 함숫값 $1$ 또는 $2$를 갖는 것에 모순이다. 이차방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$이 중근 $\alpha$를 갖는 경우에는 $y$$= g \left( t \right)$는 그림과 같다.

이는 조건 (나)에서 $g \left( t \right)$가 함숫값 $2$를 갖는 것에 모순이다. 그러므로 이차방정식 $f' \left( x \right)$$= 0$는 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)를 갖는다. (ⅰ) $\beta$$= \alpha + 2$일 때, 함수 $y$$=$$g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (가)를 만족한다. (ⅱ) $\beta > \alpha + 2$일 때, 함수 $y$$=$$g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (나)에서 $g \left( t \right)$가 함숫값 $2$를 갖는 것에 모순이다. (ⅲ) $\beta < \alpha + 2$일 때, 함수 $y$$=$$g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이때, $\beta - 2 \leq a \leq \alpha$인 $a$에 대하여 조건 (가)를 만족시키지 못한다. 따라서 위에서 조건을 만족시키는 것은 (ⅰ)의 경우이다. 한편, 함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 함수 $f' \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다. 그러므로 $f' ( x )$$\displaystyle = \frac{3}{2} ( x - \alpha ) \left\{ x - \left( \alpha + 2 \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \left\{ x ^{2} - \left( 2 \alpha + 2 \right) x + \alpha ^{2} + 2 \alpha \right\}$ 로 놓을 수 있다. 이때, $f ( x )$$\displaystyle = \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{3}{2} ( \alpha + 1 ) x ^{2} + \frac{3}{2} ( \alpha ^{2} + 2 \alpha ) x + C$ (단, $C$는 적분상수) $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, 조건 (나)에서 $g ( f ( 1 ) ) = g ( f ( 4 ) ) = 2$ 이고 $g \left( t \right)$의 함숫값이 $2$인 $t$의 값의 개수는 $1$이므로 $f ( 1 ) = f ( 4 )$ ㉠에서 $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \left( \alpha + 1 \right) + \frac{3}{2} \left( \alpha ^{2} + 2 \alpha \right) + C$$= 32 - 24 \left( \alpha + 1 \right) + 6 \left( \alpha ^{2} + 2 \alpha \right) + C$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \left( \alpha + 1 \right) + \frac{3}{2} \left( \alpha ^{2} + 2 \alpha \right)$$= 32 - 24 \left( \alpha + 1 \right) + 6 \left( \alpha ^{2} + 2 \alpha \right)$ 양변에 $2$를 곱하면 $1 - 3 \left( \alpha + 1 \right) + 3 \left( \alpha ^{2} + 2 \alpha \right)$$= 64 - 48 \left( \alpha + 1 \right) + 12 \left( \alpha ^{2} + 2 \alpha \right)$ 이 식을 정리하면 $3 \alpha ^{2} + 3 \alpha - 2$$= 12 \alpha ^{2} - 24 \alpha + 16$ $9 \alpha ^{2} - 27 \alpha + 18$$= 0$ $\alpha ^{2} - 3 \alpha + 2$$= 0$ $\left( \alpha - 1 \right) \left( \alpha - 2 \right)$$= 0$ $\alpha = 1$ 또는 $\alpha = 2$ ((ⅰ)$-$①) $\alpha = 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{3} - 3 x ^{2} + \frac{9}{2} x + C$ 이때, $f \left( 1 \right)$$= \alpha$에서 $f \left( 1 \right)$$= 1$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{2} - 3 + \frac{9}{2} + C$$= 1$ $2 + C$$= 1$ $C = \mathit{-} 1$ 이때, $f \left( 0 \right)$$= \mathit{-} 1$이므로 $g \left( f \left( 0 \right) \right)$$= g \left( - 1 \right)$$= 1$ 그러므로 조건을 만족시킨다. ((ⅰ)$-$ ②) $\alpha = 2$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{9}{2} x ^{2} + 12 x + C$ 이때, $f \left( 1 \right)$$= \alpha$에서 $f \left( 1 \right)$$= 2$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 12 + C$$= 2$ $8 + C$$= 1$ $C = \mathit{-} 6$ 이때, $f \left( 0 \right)$$= \mathit{-} 6$이므로 $g \left( f \left( 0 \right) \right)$$= g \left( - 6 \right)$$= 0$ 그러므로 조건을 만족시키지 못한다. 따라서 ((ⅰ)$-$ ①)에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{3} - 3 x ^{2} + \frac{9}{2} x - 1$ 이므로 $f \left( 5 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 5 ^{3} - 3 \times 25 + \frac{9}{2} \times 5 - 1$ $\displaystyle = \frac{125}{2} - 75 + \frac{45}{2} - 1$ $= 9$