미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

도함수 조건과 적분

문제

함수 f(x)f ( x )가 0이 아닌 모든 실수 xx에 대하여 lim⁡h→0f(−x+h)−f(−x)h=ln⁡∣x∣\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f ( - x + h ) - f ( - x )}{h} = \ln \left| x \right| 를 만족시킨다. f(1)=e−1f ( 1 ) = e - 1일 때, f(e)f ( e )의 값은? [3점]

①1e\displaystyle \frac{1}{e}②1③2④ee⑤e2e ^{2}

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④

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해설

[출제의도] 이해능력-적분법 lim⁡h→0f(−x+h)−f(−x)h=f′(−x)=ln⁡∣x∣\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f ( - x + h ) - f ( - x )}{h} = f' ( - x ) = \ln \left| x \right| 이므로 f′(x)=ln⁡∣−x∣=ln⁡∣x∣f' ( x ) = \ln \left| - x \right| = \ln \left| x \right| 양변을 xx에 대하여 적분하면 f(x)=∫ln⁡∣x∣dx=xln⁡∣x∣−∫(x×1x)dx\displaystyle f ( x ) = \int _{} ^{} {\ln \left| x \right| dx} = x \ln \left| x \right| - \int _{} ^{} {\left( x \times \frac{1}{x} \right) dx} =xln⁡∣x∣−x+C= x \ln \left| x \right| - x + C(단, CC는 적분상수) 이므로 f(1)=1ln⁡1−1+C=−1+C=e−1f ( 1 ) = 1 \ln 1 - 1 + C = - 1 + C = e - 1 에서 C=eC = e 따라서 f(x)=xln⁡∣x∣−x+ef ( x ) = x \ln \left| x \right| - x + e이므로 f(e)=eln⁡e−e+e=ef ( e ) = e \ln e - e + e = e

태그

#미분계수#부분적분#로그함수

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