도함수 조건을 만족하는 함수의 정적분값

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f \left( x \right)$에 대하여 조건 (가)의 식 $\left\{ f' \left( x \right) + 2 \right\} \left\{ f' \left( x \right) - 2 \right\}$$= x \left( x - 4 \right)$에서 $\left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} - \left( x - 2 \right) ^{2} = 0$ $\left\{ f' \left( x \right) - x + 2 \right\} \left\{ f' \left( x \right) + x - 2 \right\} = 0$ $\therefore$ $f' \left( x \right) = x - 2$ 또는 $f' \left( x \right) = - x + 2$ 따라서 (나)의 조건을 만족하는 도함수 $f' \left( x \right)$는 다음과 같다. $f' \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - x + 2 & & \left( x < 2 \right) \\ x - 2 & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$

이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x + C _{1} & & \left( x < 2 \right) \\ \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x + C _{2} & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$ $f \left( 2 \right) = 1$이므로 $C _{1} = - 1$, $C _{2} = 3$ $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x - 1 & & \left( x < 2 \right) \\ \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x + 3 & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{4} {} f \left( x \right) dx$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \left( - \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x - 1 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{6} x ^{3} + x ^{2} - x \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = \left( - \frac{8}{6} + 4 - 2 \right) - 0$$\displaystyle = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \int _{2} ^{4} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{2} ^{4} {} \left( \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x + 3 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{6} x ^{3} - x ^{2} + 3 x \end{array} \right] _{2} ^{4}$ $\displaystyle = \left( \frac{64}{6} - 16 + 12 \right) - \left( \frac{8}{6} - 4 + 6 \right)$$\displaystyle = \frac{10}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{0} ^{4} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle = \frac{2}{3} + \frac{10}{3}$$= 4$