도함수 조건 삼차함수

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $1 < x < 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f' ( x ) < 0$이고 $f' \left( x - 1 \right) f' \left( x + 1 \right) < 0$이므로 두 함수 $y = f' \left( x \right)$와 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음의 두 가지 경우이다.

$y = f' ( x )$

$y = f' ( x )$

$a \geq 3$ $y = f ( x )$	$a \leq 0$ $y = f ( x )$

함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f \left( - x \right) ( x < 0 ) \\ f ( x ) ( x \geq 0 ) \end{cases}}$라 하자. 함수 $g ( x )$는 모든 실수 $x$에서 미분가능하므로 $g' ( 0 )$가 존재해야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g ( 0 + h ) - g ( 0 )}{h}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{f ( - h ) - f ( 0 )}{h}}$$= - f' ( 0 )$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g ( 0 + h ) - g ( 0 )}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h\rightarrow 0+} {\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h}}$$= f' ( 0 )$ $- f' ( 0 ) = f' ( 0 )$이므로 $f' ( 0 ) = 0$ 위의 그래프의 개형 중 (ii)에 해당되므로 $f' ( x ) = 3 x ( x - 2 )$ $f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} + C$ (단, $C$는 적분상수이다.) $f ( 0 ) - f ( - 2 ) = 20$