미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

도함수 절댓값 극한

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \int _{2} ^{x} {( t ^{2} - 3 t + 2 ) dt}$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{\left| f' ( x ) \right|}{x - 1}$ 의 값은? [3점]

①0② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③1④ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ⑤2

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③

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해설

[출제의도] 이해능력-다항함수의 적분법 $f' ( x ) = x ^{2} - 3 x + 2 = ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이므로 $\displaystyle \frac{\left| f' ( x ) \right|}{x - 1} = \frac{\left| ( x - 1 ) ( x - 2 ) \right|}{x - 1}$ $1 < x < 2$ 일 때 $( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0$ 이므로 $\displaystyle \frac{\left| f' ( x ) \right|}{x - 1} = \frac{\left| ( x - 1 ) ( x - 2 ) \right|}{x - 1}$ $\displaystyle = \frac{- ( x - 1 ) ( x - 2 )}{x - 1} = - ( x - 2 ) = - x + 2$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{\left| f' ( x ) \right|}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} ( - x + 2 ) = 1$

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