도함수 부등식 이차함수

주어진 조건에 의하여 $f ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2} + b$ ($b$는 상수)로 놓으면 $f' ( x ) = 2 a ( x - 1 )$이므로 $| f' ( x ) | \leq 4 x ^{2} + 5$에서 $| 2 a ( x - 1 ) | \leq 4 x ^{2} + 5$ ⋯ ㉠ 즉, ㉠이 모든 실수 $x$에 대하여 성립해야 하므로 두 곡선 $y = | 2 a ( x - 1 ) |$$= | 2 a | | x - 1 |$, $y = 4 x ^{2} + 5$ 가 그림과 같아야 한다.

즉, 실수 $a$의 최댓값은 점 $( 1 , 0 )$에서 곡선 $y = 4 x ^{2} + 5$에 그은 접선이 $y = - | 2 a | ( x - 1 )$일 때이므로 접점을 $( k , 4 k ^{2} + 5 )$ ($k < 0$)이라 하면 $y' = 8 x$에서 $y - ( 4 k ^{2} + 5 ) = 8 k ( x - k )$ 이 접선이 점 $( 1 , 0 )$을 지나므로 $4 k ^{2} - 8 k - 5 = 0$, $( 2 k - 5 ) ( 2 k + 1 ) = 0$, $\displaystyle k = - \frac{1}{2}$ 즉, 접선의 기울기는 $\displaystyle 8 \times \left( - \frac{1}{2} \right) = - 4$이므로 $- | 2 a | = - 4$, $| a | = 2$ $a = - 2$ 또는 $a = 2$ 따라서 실수 $a$의 최댓값은 $2$이다.