등차와 등비 수열

[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 조건을 만족하는 값을 구한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 등차수열이므로 $a _{1} + a _{8} = a _{4} + a _{5}$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 등비수열이므로 $b _{2} b _{7} = b _{4} b _{5}$ 이때 $b _{4} b _{5} = a _{4} a _{5}$이므로 $a _{4} + a _{5} = 8$, $a _{4} a _{5} = 12$ $a _{4}$, $a _{5}$가 두 이차방정식의 근이라 하면 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 이차방정식 $x ^{2} - 8 x + 12 = 0$의 두 근이다. 따라서 $a _{4} = 6$, $a _{5} = 2$ ($\because$ $a _{4} = b _{4}$, $a _{5} = b _{5}$, $b _{4} > b _{5}$) 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 공차가 $- 4$인 등차수열이므로 $a _{4} = a _{1} + ( 4 - 1 ) \times ( - 4 ) = 6$ 따라서 $a _{1} = 18$