대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등차수열로 만든 집합 보기

문제

두 수 $2$ 와 $4$ 사이에 $n$ 개의 수 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $\cdots$ , $a _{n}$ 을 넣어 만든 $\left( n + 2 \right)$ 개의 수 $2$ , $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $\cdots$ , $a _{n}$ , $4$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 집합 $A _{n} = \left\{ 2 , a _{1} , a _{2} , a _{3} , \cdots , a _{n} , 4 \right\}$ 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $n$ 은 자연수이다.) [4점]

		<보 기>

	ㄱ. $n$ 이 홀수이면 $3 \in A _{n}$ ㄴ. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $A _{n} \subset A _{2 n + 1}$ ㄷ. 집합 $A _{2 n + 1} - A _{n}$ 의 모든 원소의 합을 $S _{n}$ 이라 할 때, $S _{6} + S _{13} = 63$ 이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기

⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 추론하기 ㄱ. $n$ 이 홀수이면 항의 개수가 홀수이고 $3$ 이 $2$ 와 $4$ 의 등차중항이므로 $3 \in {A _{n}}$ (참) ㄴ. $4 = 2 + \left( n + 1 \right) d _{1}$ 이라 하면, 집합 $A _{n}$ 의 모든 원소 $2$ , $\displaystyle 2 + \frac{2}{n + 1}$ , $\cdots$ , $\displaystyle 2 + \frac{2 n}{n + 1}$ , $4$ 는 공차가 $\displaystyle d _{1} = \frac{2}{n + 1}$ 인 등차수열이다. $4 = 2 + \left( 2 n + 2 \right) d _{2}$ 라 하면, 집합 $A _{2 n + 1}$ 의 모든 원소 $2$ , $\displaystyle 2 + \frac{1}{n + 1}$ , $\cdots$ , $\displaystyle 2 + \frac{2 n + 1}{n + 1}$ , $4$ 는 공차가 $\displaystyle d _{2} = \frac{1}{n + 1}$ 인 등차수열이다. 즉, $A _{n} \subset A _{2 n + 1}$ (참) ㄷ. ㄴ에 의하여 $A _{2 n + 1} - A _{n}$ $\displaystyle = \left\{ 2 + \frac{1}{n + 1} , 2 + \frac{3}{n + 1} , \cdots , 2 + \frac{2 n + 1}{n + 1} \right\}$ $\displaystyle S _{n} = \frac{n + 1}{2} \left( 2 + \frac{1}{n + 1} + 2 + \frac{2 n + 1}{n + 1} \right)$ $= 3 ( n + 1 )$ $S _{6} + S _{13} = 21 + 42 = 63$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

← 전체 문제 목록으로

등차수열로 만든 집합 보기

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기