등차수열과 집합

[출제의도] 등차수열의 정의와 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 등차수열의 특정한 항의 값을 구할 수 있는가 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$$\left( d \ne 0 \right)$이라 하자. $b _{n} = a _{n} + a _{n + 1}$이므로 $b _{n + 1} - b _{n}$$= \left( a _{n + 1} + a _{n + 2} \right) - \left( a _{n} + a _{n + 1} \right)$$= a _{n + 2} - a _{n}$$= 2 d$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 공차가 $2 d$인 등차수열이다. (ⅰ) $d > 0$일 때, $a _{1} = a _{2} - d$$= \mathit{-} 4 - d < 0$ $a _{2} = \mathit{-} 4 < 0$ 이므로 $b _{1} = a _{1} + a _{2}$$= \mathit{-} 8 - d < a _{1}$ $n \left( A {\cap} B \right) = 3$이려면 $b _{2} = a _{1}$ 또는 $b _{3} = a _{1}$ 이어야 한다. ① $b _{2} = a _{1}$일 때, $b _{3} = a _{3}$, $b _{4} = a _{5}$ 이므로 $n \left( A {\cap} B \right) = 3$ 이다. 한편, $b _{2} = b _{1} + 2 d$$= \mathit{-} 8 + d$이므로 $b _{2} = a _{1}$에서 $- 8 + d = \mathit{-} 4 - d$ $2 d = 4$ $d = 2$ 따라서 $a _{20} = a _{2} + 18 d$$= \mathit{-} 4 + 18 \times 2$$= 32$ ② $b _{3} = a _{1}$일 때, $b _{4} = a _{3}$, $b _{5} = a _{5}$ 이므로 $n \left( A {\cap} B \right) = 3$이다. 한편, $b _{3} = b _{1} + 4 d$$= \mathit{-} 8 + 3 d$이므로 $b _{3} = a _{1}$에서 $- 8 + 3 d = \mathit{-} 4 - d$ $4 d = 4$ $d = 1$ 따라서 $a _{20}$$= a _{2} + 18 d$$= \mathit{-} 4 + 18 \times 1$$= 14$ (ⅱ) $d < 0$일 때, ③ $a _{1} > 0$이면 $a _{2} < b _{1} < a _{1}$이므로 $n \left( A {\cap} B \right) = 0$ ④ $a _{1} = 0$이면 $b _{1} = a _{2}$, $b _{2} = a _{4}$이므로 $n \left( A {\cap} B \right) = 2$ ⑤ $a _{1} < 0$이면 $b _{1} < a _{2}$이므로 $n \left( A {\cap} B \right) {\leq} 2$ ③, ④, ⑤에서 $d < 0$이면 주어진 조건을 만족하지 못한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a _{20} = 32$ 또는 $a _{20} = 14$ 따라서 $a _{20}$의 값의 합은 $32 + 14 = 46$