등차수열과 이차방정식

[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기 주어진 이차방정식의 서로 다른 두 실근을 $\alpha _{n}$ , $\beta _{n}$이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha _{n} + \beta _{n} = a _{n} + a _{n + 2} = 2 a _{n + 1}$ , $\alpha _{n} \beta _{n} = - a _{n+1}$ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} {\left( \alpha _{n} + 1 \right) \left( \beta _{n} + 1 \right)}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \alpha _{n} \beta _{n} + \alpha _{n} + \beta _{n} + 1 \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( - a _{n + 1} + 2 a _{n + 1} + 1 \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( a _{n + 1} + 1 \right) = 180$ $\therefore$ $a _{2} + a _{3} + a _{4} + \cdots + a _{11} + 10 = 180$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\text{㉠}$의 양변에 $a _{1}$을 더하면 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + \cdots + a _{11} + 10 = a _{1} + 180$ $\displaystyle \frac{11 \times \left( a _{1} + a _{11} \right)}{2} = \frac{11 \times \left( 6 + a _{11} \right)}{2} = 6 + 170$ $\therefore$ $a _{11} = 26$