대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열과 이차방정식

문제

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차와 각 항이 00이 아닌 실수일 때, 방정식 an+2x2+2an+1x+an=0a _{n + 2} x ^{2} + 2 a _{n + 1} x + a _{n} = 0의 한 근을 bnb _{n}이라 하면 등차수열{bnbn+1}\displaystyle \left\{ \frac{b _{n}}{b _{n} + 1} \right\}의 공차는? (단, bn≠−1b _{n} \ne - 1) [4점] ①−12\displaystyle - \frac{1}{2}②−14\displaystyle - \frac{1}{4}③18\displaystyle \frac{1}{8}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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①

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해설

[출제의도] 등차수열의 성질 이해하기 2an+1=an+2+an2 a _{n + 1} = a _{n + 2} + a _{n}이므로 an+2x2+(an+2+an)x+an=0a _{n + 2} x ^{2} + ( a _{n + 2} + a _{n} ) x + a _{n} = 0이다. (an+2x+an)(x+1)=0( a _{n + 2} x + a _{n} ) ( x + 1 ) = 0 ∴\therefore bn=−anan+2\displaystyle b _{n} = - \frac{a _{n}}{a _{n + 2}} 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차를 dd라 하면 bnbn+1=−anan+2−an+an+2an+2=−a1−(n−1)d2d\displaystyle \frac{b _{n}}{b _{n} + 1} = \frac{- \frac{a _{n}}{a _{n + 2}}}{\frac{- a _{n} + a _{n + 2}}{a _{n + 2}}} = \frac{- a _{1} - ( n - 1 ) d}{2 d} 이므로 공차는 −12\displaystyle - \frac{1}{2}이다.

태그

#등차수열#이차방정식

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