등차수열과 합

[출제의도] 등차수열의 일반항과 $\displaystyle \sum\limits _{} ^{}$의 정의를 이용하여 등차수열의 항을 구할 수 있는가? 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항과 공차가 같으므로 $a _{1} = a$라 하면 $a _{n}$$= a + ( n - 1 ) \times a$$= an$ 한편 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} \frac{1}{\sqrt{a _{k}} + \sqrt{a _{k+1}}} = 2$ 에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} \frac{1}{\sqrt{a _{k}} + \sqrt{a _{k+1}}}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{15} \frac{1}{\sqrt{ak} + \sqrt{a ( k + 1 )}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{15} \frac{\sqrt{a ( k + 1 )} - \sqrt{ak}}{a}$$\displaystyle = \frac{1}{a} \sum\limits _{k = 1} ^{15} \left( \sqrt{a ( k + 1 )} - \sqrt{ak} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{a} \left\{ \left( \sqrt{2 a} - \sqrt{a} \right) + \left( \sqrt{3 a} - \sqrt{2 a} \right) + \cdots + \left( \sqrt{16 a} - \sqrt{15 a} \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{a} \left( 4 \sqrt{a} - \sqrt{a} \right)$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{a}}{a}$$\displaystyle = \frac{3}{\sqrt{a}} = 2$ 이때, $\displaystyle 2 \sqrt{a} = 3$ $\displaystyle a = \frac{9}{4}$ 따라서 $\displaystyle a _{4} = 4 a = 4 \times \frac{9}{4} = 9$