등차수열과 등비수열 조건

[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 활용하여 수열의 항을 구한다. $a _{7}$, $a _{8}$, $a _{k}$가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 이 수열의 공비를 $r$라 하면 $a _{8}$$= a _{7} r$, $a _{k}$$= a _{7} r ^{2}$ …… ㉠ 등차수열 $\{ a _{n} \}$의 공차를 $d$라 하면 조건 (가)에서 $a _{n}$$= a _{1} + ( n - 1 ) d$ ($a _{1}$은 정수, $d$는 자연수) 이므로 $a _{8} - a _{7}$$= d$, $a _{k} - a _{8}$$= ( k - 8 ) d$ 이 식에 ㉠을 대입하면 $a _{7} \left( r - 1 \right) = d$, $a _{7} \left( r - 1 \right) r = \left( k - 8 \right) d$ 위 식으로부터 $dr$$= ( k - 8 ) d$ $d \ne 0$이므로 $r$$= k - 8$ …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $a _{k}$$= a _{7} ( k - 8 ) ^{2}$, $a _{k}$$= 144$$= 12 ^{2}$ 위 식으로부터 $a _{7} ( k - 8 ) ^{2}$$= 12 ^{2}$ 조건 (가)에서 $k - 8$과 $a _{7}$이 정수이므로 $a _{7}$은 완전제곱수이다. 따라서 $a _{7}$은 $12$의 약수의 제곱수인 $1$, $2 ^{2}$, $3 ^{2}$, $4 ^{2}$, $6 ^{2}$, $12 ^{2}$중 하나이다. (ⅰ) $a _{7}$$= 1$일 때 $( k - 8 ) ^{2}$$= 12 ^{2}$이므로 $k$$= 20$($k > 8$) (ⅱ) $a _{7}$$= 2 ^{2}$일 때 $( k - 8 ) ^{2}$$= 6 ^{2}$이므로 $k$$= 14$($k > 8$) (ⅲ) $a _{7}$$= 3 ^{2}$일 때 $( k - 8 ) ^{2}$$= 4 ^{2}$이므로 $k$$= 12$($k > 8$) (ⅳ) $a _{7}$$= 4 ^{2}$일 때 $( k - 8 ) ^{2}$$= 3 ^{2}$이므로 $k$$= 11$($k > 8$) (ⅴ) $a _{7}$$= 6 ^{2}$일 때 $( k - 8 ) ^{2}$$= 2 ^{2}$이므로 $k$$= 10$($k > 8$) (ⅵ) $a _{7}$$= 12 ^{2}$일 때 $( k - 8 ) ^{2}$$= 1$이므로 $k$$= 9$($k > 8$) 그런데 $k = 9$이면 ㉡에서 $r = 1$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 $0$이다. 따라서 $k \ne 9$이다. (ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 모든 $k$의 값의 합은 $20 + 14 + 12 + 11 + 10$$= 67$