대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차수열 로그 빈칸 추론

문제

첫째항이 $1$ 이고 공차가 양수인 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y = a _{n}$ 이 곡선 $y = \log _{2} x$ 와 만나는 점을 ${\mathrm{P}} _{\mathit{n}}$ 이라 하자. 점 ${\mathrm{P}} _{\mathit{n}}$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 $x$ 축 및 곡선 $y = x ^{2}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ ${} _{n}$ , $\mathrm{B}$ ${} _{n}$ 이라 하고, 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} {\mathrm{B}} _{\mathit{n}} {\mathrm{P}} _{\mathit{n} + 1}$ 의 넓이를 $T _{n}$ 이라 하자.

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} _{n} : {\overline{OA}} _{n + 1}$ $= 1 : 4$ 일 때 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} T _{n}$ 의 값을 구하는 과정이다. $($ 단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다. $)$

$a _{n} = \log _{2} x$ 일 때 $x = 2 ^{a _{n}}$ 이므로 점 $\mathrm{A}$ ${} _{n}$ 의 $x$ 좌표는 $2 ^{a _{n}}$ 이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} _{n} =$ $2 ^{a _{n}}$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} _{n + 1}$ $= 2 ^{a _{n + 1}}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} _{n} : {\overline{OA}} _{n + 1}$ $= 1 : 4$ 이므로 $2 ^{a _{n}} : 2 ^{a _{n + 1}} = 1 : 4$ 이다. 그러므로 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 공차는 ${\square {( \text{가} )}}$ 이다. 점 $\mathrm{B}$ ${} _{n}$ 의 좌표는 $\left( 2 ^{a _{n}} , 4 ^{a _{n}} \right)$ 이므로 $T _{n}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{A _{n} B _{n}}}$ $\displaystyle \times \mathrm{\overline{A _{n} A _{n + 1}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 ^{a _{n}} \times \left( 2 ^{a _{n + 1}} - 2 ^{a _{n}} \right)$ $= {\square {( \text{나} )}} \times 8 ^{a _{n}}$ 이다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 첫째항이 $1$ 인 등차수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} T _{n} = {\square {( \text{다} )}} \times \left( 2 ^{30} - 1 \right)$ 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p , q , r$ 이라 할 때, $\displaystyle \frac{p}{q \times r}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

출제의도 : 등차수열과 등비수열의 뜻을 알고, 일반항 및 첫째항부터 제 $n$ 항 까지의 합을 구할 수 있는가? $a _{n} = \log _{2} x$ 일 때 $x = 2 ^{a _{n}}$ 이므로 점 ${\mathrm{A}} _{n}$ 의 $x$ 좌표는 $2 ^{a _{n}}$ 이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}} _{n}} = 2 ^{a _{n}}$ , $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}} _{n + 1}} = 2 ^{a _{n + 1}}$ 이고 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OA}} _{n}} : \overline{{\mathrm{OA}} _{n + 1}} = 1 : 4$ 이므로 $2 ^{a _{n}} : 2 ^{a _{n + 1}} = 1 : 4$ 에서 $4 \times 2 ^{a _{n}} = 2 ^{a _{n + 1}}$ $2 ^{a _{n} + 2} = 2 ^{a _{n + 1}}$ $a _{n} + 2 = a _{n + 1}$ 이다. 그러므로 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 공차는 $2$ 이다. 즉, $p = 2$ 점 ${\mathrm{B}} _{n}$ 의 좌표는 $\left( 2 ^{a _{n}} , 4 ^{a _{n}} \right)$ 이므로 $\begin{aligned} T _{n} & \end{aligned}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}} \times \overline{{\mathrm{A}} _{n + 1} {\mathrm{B}} _{n + 1}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 ^{a _{n}} \times \left( 2 ^{a _{n + 1}} - 2 ^{a _{n}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 ^{a _{n}} \times \left( 2 ^{a _{n} + 2} - 2 ^{a _{n}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 ^{a _{n}} \times 2 ^{a _{n}} \times \left( 2 ^{2} - 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \times ( 4 \times 2 ) ^{a _{n}}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \times 8 ^{a _{n}}$ 이다. 즉, $\displaystyle q = \frac{3}{2}$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 첫째항이 $1$ 이고 공차가 $2$ 인 등차수열이므로 $a _{n} = 2 n - 1$ 이고, $\displaystyle T _{n} = \frac{3}{2} \times 8 ^{2 n - 1} = \frac{3}{16} \times 64 ^{n}$ 이다. 이때, 수열 $\left\{ T _{n} \right\}$ 은 첫째항이 $12$ 이고 공비가 $64$ 인 등비수열이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{5} T _{n} & = \frac{12 \left( 64 ^{5} - 1 \right)}{64 - 1} \end{aligned}$ $\displaystyle = \frac{12}{63} \times \left\{ \left( 2 ^{6} \right) ^{5} - 1 \right\}$ $\displaystyle = \frac{4}{21} \times \left( 2 ^{30} - 1 \right)$ 이다. 즉, $\displaystyle r = \frac{4}{21}$ 따라서 $\displaystyle \begin{aligned} \frac{p}{q \times r} & = \frac{2}{\frac{3}{2} \times \frac{4}{21}} \end{aligned}$ $\displaystyle = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{21}{4}$ $= 7$

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