등차수열 집합 원소의 합

[출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 집합의 원소의 합을 추론한다. 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d _{1}$이라 하자. $a _{10} = a _{1} + 9 d _{1}$이므로 조건 (가)에서 $55 = 1 + 9 d _{1}$ $d _{1} = 6$ 따라서 $a _{n}$$= 1 + ( n - 1 ) 6$$= 6 n - 5$ $A = \left\{ 1 , 7 , 13 , 19 , 25 , 31 , 37 , 43 , 49 , 55 \right\}$이므로 $n ( A ) = 10$ 조건 (나)에서 $n ( A \cap B ) = n ( A \cap B ^{C} )$이고, $n ( A ) = n ( A \cap B ) + n \left( A \cap B ^{C} \right)$ 이므로 $n ( A \cap B ) = 5$ 만약 집합 $A$의 원소를 작은 것부터 크기순으로 나열했을 때, 인접한 두 수가 $A {\cap B}$의 원소이면 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 등차수열이므로 집합 $A$의 모든 원소는 집합 $B$의 원소가 된다. 따라서 $n ( A \cap B ) = 10$이므로 $n ( A \cap B ) = 5$에 모순이다. 인접하지 않은 항으로 $5$개의 원소를 선택하는 경우는 다음 두 가지 경우이다. (ⅰ) $A {\cap} B = \left\{ 7 , 19 , 31 , 43 , 55 \right\}$인 경우 모든 원소의 합은 $\displaystyle \frac{5 ( 7 + 55 )}{2} = 155$이므로 조건 (다)에 모순이다. (ⅱ) $A {\cap} B = \left\{ 1 , 13 , 25 , 37 , 49 \right\}$인 경우 모든 원소의 합은 $\displaystyle \frac{5 ( 1 + 49 )}{2} = 125$이므로 조건 (다)를 만족시킨다. 따라서 $A {\cap} B = \left\{ 1 , 13 , 25 , 37 , 49 \right\}$이다. 한편, $\displaystyle n ( A \cap B ) = \frac{1}{2} \times n \left( A ^{C} \cap B \right) = 5$이므로 $n \left( A ^{C} \cap B \right) = 10$ 따라서 $n \left( B \right)$$= n ( A \cap B ) + n \left( A ^{C} \cap B \right)$$= 5 + 10$$= 15$ 공차가 $6$인 등차수열의 항을 원소로 갖는 집합 $A$의 원소의 개수가 $10$이므로 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차가 $6$ 이상이면 집합 $B$의 원소의 개수는 $10$ 이하이다. 따라서 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차는 $6$보다 작다. 이때 $n ( A \cap B ) = 5$, $n \left( A ^{C} \cap B \right) = 10$이고, 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 등차수열이므로 집합 $B$의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $1$, $c _{1}$, $c _{2}$, $13$, $c _{3}$, $c _{4}$, $25$, $c _{5}$, $c _{6}$, $37$, $c _{7}$, $c _{8}$, $49$, $c _{9}$, $c _{10}$ 이라 할 수 있다. 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차를 $d _{2}$라 하면 $13 - 1$$= 12$$= 3 d _{2}$이므로 $d _{2} = 4$ $B = \left\{ 1 , 5 , 9 , 13 , \cdots , 53 , 57 \right\}$ 따라서 집합 $B$의 모든 원소의 합은 첫째항이 $1$이고 공차가 $4$인 등차수열의 제$1$항부터 제$15$항까지의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{15 ( 1 + 57 )}{2} = 435$ [참고] 두 등차수열이 $3$개 이상의 공통항을 가지면 그 공통항은 등차수열을 이룬다.