등차수열 절댓값 합 조건

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가? 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 양수이고 조건 (가)에서 $a _{5} \times a _{7} < 0$ 이므로 $a _{5} < 0$, $a _{7} > 0$ 즉, $n \leq 5$일 때 $a _{n} < 0$이고, $n \geq 7$일 때 $a _{n} > 0$이다. 이때 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} \left| a _{k + 6} \right|$$\displaystyle = 6 + \sum\limits _{k = 1} ^{6} \left| a _{2 k} \right|$ 이므로 $\left| a _{7} \right| + \left| a _{8} \right| + \left| a _{9} \right| + \left| a _{10} \right| + \left| a _{11} \right| + \left| a _{12} \right|$ $= 6 + \left| a _{2} \right| + \left| a _{4} \right| + \left| a _{6} \right| + \left| a _{8} \right| + \left| a _{10} \right| + \left| a _{12} \right|$ $a _{7} + a _{9} + a _{11}$$= 6 - a _{2} - a _{4} + \left| a _{6} \right|$ 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 $3$이므로 $\left( a _{1} + 18 \right) + \left( a _{1} + 24 \right) + \left( a _{1} + 30 \right)$$= 6 - \left( a _{1} + 3 \right) - \left( a _{1} + 9 \right) + \left| a _{1} + 15 \right|$ $\left| a _{1} + 15 \right|$$= 5 a _{1} + 78$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠에서 $a _{1} + 15 \geq 0$이면 $a _{1} + 15$$= 5 a _{1} + 78$ $4 a _{1}$$= \mathit{-} 63$ $a _{1}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{63}{4}$$< \mathit{-} 15$ 이므로 조건을 만족시키지 않는다. 즉, $a _{1} + 15 < 0$이므로 ㉠에서 $- a _{1} - 15$$= 5 a _{1} + 78$ $6 a _{1}$$= \mathit{-} 93$ $a _{1}$$\displaystyle = - \frac{31}{2}$ 따라서 $a _{10}$$= a _{1} + 9 \times 3$$\displaystyle = - \frac{31}{2} + 27$$\displaystyle = \frac{23}{2}$