등차수열 절댓값 합

[출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기 $a _{2 m}$$= \mathit{-} a _{m}$에서 $a _{m} + md$$= \mathit{-} a _{m}$ $2 a _{m}$$= \mathit{-} md$이므로 $m$과 $d$ 중에서 적어도 하나는 짝수이다. $m$이 짝수, 즉 $m$$= 2 p$($p$는 자연수)라 하면 $a _{2 m} + a _{m}$$= a _{4 p} + a _{2 p}$ $= \left\{ a _{1} + \left( 4 p - 1 \right) d \right\} + \left\{ a _{1} + \left( 2 p - 1 \right) d \right\}$ $= 2 \left\{ a _{1} + \left( 3 p - 1 \right) d \right\}$ $= 2 a _{3 p}$$= 0$ 이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $m$은 홀수이고 $d$는 짝수이다. $m$$= 2 l - 1$($l$은 자연수)라 하면 $a _{4 l - 2}$$= \mathit{-} a _{2 l - 1}$에서 $a _{3 l - 1}$$= a _{4 l - 2} - \left( l - 1 \right) d$$= \mathit{-} a _{2 l - 1} - \left( l - 1 \right) d$$= \mathit{-} a _{3 l - 2}$ 이고 $d > 0$이므로 $1 \leq n \leq 3 l - 2$일 때 $a _{n} < 0$ $n \geq 3 l - 1$일 때 $a _{n} > 0$이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = m} ^{2 m} \left| a _{k} \right|$$\displaystyle = \sum\limits _{k = \mathit{2} l - 1} ^{4 l - 2} \left| a _{k} \right|$ $= \mathit{-} a _{2 l - 1} - a _{2 l} - a _{2 l + 1} - \cdots - a _{3 l - 2}$$+ a _{3 l - 1} + a _{3 l} + a _{3 l + 1} + \cdots + a _{4 l - 2}$ $= \mathit{-} a _{2 l - 1} - \left( a _{2 l - 1} + d \right) - \left( a _{2 l - 1} + 2 d \right) - \cdots - \left( a _{2 l - 1} + \left( l - 1 \right) d \right)$ $+ \left( a _{2 l - 1} + ld \right) + \left\{ a _{2 l - 1} + \left( l + 1 \right) d \right\} + \cdots + \left\{ a _{2 l - 1} + \left( 2 l - 1 \right) d \right\}$ $= \mathit{-} \left\{ 1 + 2 + 3 \cdots + \left( l - 1 \right) \right\}$$+ \left\{ l + \left( l + 1 \right) + \left( l + 2 \right) + \cdots + \left( 2 l - 1 \right) \right\} d$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{l \left( l - 1 \right)}{2} d + \frac{l \left\{ l + \left( 2 l - 1 \right) \right\}}{2} d$ $= l ^{2} d$$= 128$ $l$은 자연수이고 $d$는 짝수이므로 모든 순서쌍 $\left( l , d \right)$는 $\left( 1 , 128 \right)$, $\left( 2 , 32 \right)$, $\left( 4 , 8 \right)$, $\left( 8 , 2 \right)$이다. 따라서 모든 $d$의 값의 합은 $2 + 8 + 32 + 128$$= 170$