등차수열 절댓값

$a _{4} \times a _{5} = \left( a _{1} - 6 \right) \left( a _{1} - 8 \right) \leq 0$에서 $6 \leq a _{1} \leq 8$이고 $a _{1}$이 자연수이므로 $a _{1}$의 값은 $6$, $7$, $8$ 중 하나이다. $\cdots \cdots$ ㉠ 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항이 자연수이고 공차가 $- 2$이므로 $2$ 이상의 자연수 $k$에 대하여 $a _{k} < a _{1}$이고 $a _{k}$는 정수이다. (ⅰ) $a _{k} \geq 0$일 때 $\left| a _{1} - a _{k} \right| = 4 \left| a _{k} \right|$에서 $a _{1} - a _{k} = 4 a _{k}$, $a _{1} = 5 a _{k}$ 이고 $a _{k}$는 정수이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{k} < 0$일 때 $\left| a _{1} - a _{k} \right| = 4 \left| a _{k} \right|$에서 $a _{1} - a _{k} = - 4 a _{k}$, $a _{1} = - 3 a _{k}$ 이고 $a _{k}$가 정수이므로 ㉠에서 $a _{1} = 6$, $a _{k} = - 2$ $a _{k} = 6 + \left( k - 1 \right) \times \left( - 2 \right) = - 2$에서 $k = 5$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{1} + k = 6 + 5 = 11$