등차수열 제곱차 합

[출제의도] 등차수열의 합 이해하기 수열$\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라고 하자. $a _{26} = 30$이므로 $a _{1} + 25 d = 30$…① $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{13} \left\{ \left( a _{2 n} \right) ^{2} - \left( a _{2 n - 1} \right) ^{2} \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{13} \left( a _{2 n} - a _{2 n - 1} \right) \left( a _{2 n} + a _{2 n - 1} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{13} d \left( a _{2 n} + a _{2 n - 1} \right)$ $= d \left\{ \left( a _{2} + a _{1} \right) + \left( a _{4} + a _{3} \right) + \cdots + \left( a _{26} + a _{25} \right) \right\}$ $= d \left( a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{26} \right)$ $\displaystyle = \frac{d \times 26 \left( a _{1} + a _{26} \right)}{2}$ $= 13 d \left( a _{1} + 30 \right) = 260$ $\therefore d \left( a _{1} + 30 \right) = 20 \cdots \text{ ②}$ ①, ②에 의해서 $d \left( 30 - 25 d + 30 \right) = 20$ $25 d ^{2} - 60 d + 20 = 0$ $5 d ^{2} - 12 d + 4 = 0$ $\left( 5 d - 2 \right) \left( d - 2 \right) = 0$ $\displaystyle d = \frac{2}{5}$또는 $d = 2$ $d = 2$이면 $a _{1} = - 20 < 0$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항이 양수인 것은 아니다. 따라서 $\displaystyle d = \frac{2}{5}$이고 $a _{1} = 20$이다. 그러므로 $\displaystyle a _{11} = 20 + 10 \times \frac{2}{5} = 20 + 4 = 24$이다.