등차수열 합의 최대최소

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 추론하기 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$ $\left( d < 0 \right)$이라 하자. (ⅰ) $a _{m} = 2 a _{m + 2}$일 때, $a _{m + 2} = a _{m} + 2 d$이므로 $a _{m} = \mathit{-} 4 d$이고 $a _{m + 1} = \mathit{-} 3 d , a _{m + 2} = \mathit{-} 2 d$ $S _{m + 1} = S _{m} + \left( - 3 d \right) > S _{m}$, $S _{m + 2} = S _{m + 1} + \left( - 2 d \right) > S _{m + 1}$이므로 $S _{m + 2} > S _{m + 1} > S _{m}$ 그러므로 $S _{m + 2} = 460 , S _{m} = 450$ $S _{m + 2} - S _{m} = a _{m + 1} + a _{m + 2}$에서 $460 - 450 = \mathit{-} 3 d + \left( - 2 d \right)$ $d = \mathit{-} 2$ $a _{m} = 8 = a _{1} + \left( m - 1 \right) \times \left( - 2 \right)$에서 $a _{1} = 2 m + 6$ $S _{m}$$\displaystyle = \frac{m \left( a _{1} + a _{m} \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{m \left( 2 m + 14 \right)}{2} = 450$ $m ^{2} + 7 m - 450 = 0 , \left( m + 25 \right) \left( m - 18 \right) = 0$ $m$은 자연수이므로 $m = 18$ 그러므로 $a _{1} = 2 \times 18 + 6 = 42$ (ⅱ) $a _{m} = \mathit{-} 2 a _{m + 2}$일 때 $a _{m + 2} = a _{m} + 2 d$이므로 $\displaystyle a _{m} = \mathit{-} \frac{4}{3} d$이고 $\displaystyle a _{m + 1} = \mathit{-} \frac{d}{3} , a _{m + 2} = \frac{2}{3} d$ $\displaystyle S _{m + 1} = S _{m} + \left( - \frac{d}{3} \right) > S _{m} , S _{m + 2} = S _{m} + \frac{d}{3} < S _{m}$ 이므로 $S _{m + 1} > S _{m} > S _{m + 2}$ 그러므로 $S _{m + 1} = 460 , S _{m + 2} = 450$ $S _{m + 2} - S _{m + 1} = a _{m + 2}$에서 $\displaystyle 450 - 460 = \frac{2}{3} d$ $d = \mathit{-} 15$ $a _{m + 1} = 5 = a _{1} + m \times \left( - 15 \right)$에서 $a _{1} = 15 m + 5$ $S _{m + 1}$$\displaystyle = \frac{\left( m + 1 \right) \left( a _{1} + a _{m + 1} \right)}{2}$$\displaystyle = \frac{\left( m + 1 \right) \left( 15 m + 10 \right)}{2} = 460$ $3 m ^{2} + 5 m - 182 = 0 , \left( 3 m + 26 \right) \left( m - 7 \right) = 0$ $m$은 자연수이므로 $m = 7$ 그러므로 $a _{1} = 15 \times 7 + 5 = 110$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $42 + 110 = 152$