대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등차수열 항 집합

문제

일반항이 $a _{n} = 2 n + 1$ 인 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 에 대하여 집합 $A _{k}$ ( $k = 1 , 2 , 3 , \cdots$ )는 $A _{1} = \left\{ 3 , 5 , 7 , 9 , 11 \right\}$ 이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 $A _{k}$ 는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 항들 중 $\left( 2 k + 3 \right)$ 개의 연속한 항들을 원소로 하는 집합이다. (나) 집합 $A _{k + 1}$ 의 가장 작은 원소는 집합 $A _{k}$ 의 가장 작은 원소보다 크다. (다) $n ( A _{k} - A _{k + 1} ) = 3$

예를 들어 $A _{2} = \left\{ 9 , 11 , 13 , \cdots , 21 \right\}$ 이다. $A _{15} \cap A _{p} = \emptyset$ 을 만족하는 $15$ 보다 큰 자연수 $p$ 의 최솟값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 집합의 연산과 수열을 이용하여 미지의 값 추론하기 주어진 조건을 만족하는 집합 $A _{k}$ 를 구하여 차례대로 나열해보면 $A _{1} = \left\{ 3 , 5 , 7 , 9 , 11 \right\}$ $A _{2} = \left\{ 9 , 11 , 13 , \cdots , 21 \right\}$ $A _{3} = \left\{ 15 , 17 , 19 , \cdots , 31 \right\}$ $A _{4} = \left\{ 21 , 23 , 25 , \cdots , 41 \right\}$ $\vdots$ $A _{k} = \left\{ 6 k - 3 , 6 k - 1 , 6 k + 1 , \cdots , 10 k + 1 \right\}$ 이다. 따라서 $A _{15} = \left\{ 87 , 89 , 91 , \cdots , 151 \right\}$ 이다. $p > 15$ 에서 $A _{15} \cap A _{p} = \emptyset$ 을 만족하려면 집합 $A _{p}$ 의 가장 작은 원소 $\left( 6 p - 3 \right)$ 이 집합 $A _{15}$ 의 가장 큰 원소보다 커야 하므로 $6 p - 3 > 151$ 이어야 한다. $\displaystyle p > \frac{154}{6} = 25.6 \cdots$ 이므로 자연수 $p$ 의 최솟값은 $26$ 이다.

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