등차수열 계수 다항식

[출제의도] 다항식의 인수정리와 등차수열의 일반항을 이용하여 수열 문제를 해결한다. 등차수열 $\{ a _{n} \}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하자. $P ( x )$$= a _{m+1} x ^{m} + a _{m} x ^{m-1} + \cdots + a _{2} x + a _{1}$에서 $P ( 1 )$$= a _{m+1} + a _{m} + \cdots + a _{2} + a _{1}$이고 이는 등차수열 $\{ a _{n} \}$의 첫째항부터 제$\left( m + 1 \right)$항까지의 합이므로 $P ( 1 )$$\displaystyle = \frac{( m + 1 ) ( 2 a + md )}{2}$ $P ( - 1 )$$= a _{m+1} ( - 1 ) ^{m} + a _{m} ( - 1 ) ^{m-1} + \cdots - a _{2} + a _{1}$ (ⅰ) $m$이 홀수일 때 $P ( - 1 )$$= \mathit{-} a _{m+1} + a _{m} - \cdots - a _{2} + a _{1}$ $= \mathit{-} ( a _{m+1} - a _{m} ) - \cdots - ( a _{2} - a _{1} )$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{m + 1}{2} d$이므로 $P ( 1 ) = 5 P ( - 1 )$에서 $\displaystyle \frac{( m + 1 ) ( 2 a + md )}{2}$$\displaystyle = 5 \times \left( - \frac{m + 1}{2} d \right)$ $m + 1 \ne 0$이므로 $2 a + md = - 5 d$ $\displaystyle a + \frac{m + 5}{2} d = 0$ $m$은 홀수이므로 $\displaystyle \frac{m + 5}{2}$는 자연수이고 $\displaystyle a + \frac{m + 5}{2} d$는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 제$\displaystyle \left( \frac{m + 7}{2} \right)$항이다. 이때 $\displaystyle a _{\frac{m + 7}{2}}$$\displaystyle = a + \left( \frac{m + 7}{2} - 1 \right) d$$\displaystyle = a + \frac{m + 5}{2} d$$= 0$ 이 되어 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항이 $0$이 아니라는 조건에 모순이다. 따라서 $P ( 1 ) = 5 P ( - 1 )$을 만족시키는 홀수 $m$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $m$이 짝수일 때 $P ( - 1 )$$= a _{m+1} - a _{m} + \cdots - a _{2} + a _{1}$ $= ( a _{m+1} - a _{m} ) + \cdots + ( a _{3} - a _{2} ) + a$ $\displaystyle = a + \frac{m}{2} d$$\displaystyle = \frac{2 a + md}{2}$ $P ( 1 ) = 5 P ( - 1 )$에서 $\displaystyle \frac{( m + 1 ) ( 2 a + md )}{2}$$\displaystyle = 5 \times \frac{2 a + md}{2}$ $\cdots \cdots ( * )$ $m$은 짝수이므로 $\displaystyle \frac{m}{2}$은 자연수이고 $\displaystyle a + \frac{m}{2} d$는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 제$\displaystyle \left( \frac{m}{2} + 1 \right)$항이다. 이때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항이 $0$이 아니므로 $\displaystyle a _{\frac{m}{2} + 1}$$\displaystyle = a + \frac{m}{2} d$$\displaystyle = \frac{2 a + md}{2} \ne 0$ $( * )$에서 $m + 1 = 5$이므로 $m = 4$ (ⅰ), (ⅱ)에서 가능한 자연수 $m$은 $4$뿐이므로 $k = 4$이다. 다항식 $a _{5} x ^{4} + a _{4} x ^{3} + a _{3} x ^{2} + a _{2} x + a _{1}$이 $x + 2$로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여 $a _{5} \left( - 2 \right) ^{4} + a _{4} \left( - 2 \right) ^{3} + a _{3} \left( - 2 \right) ^{2} + a _{2} \left( - 2 \right) + a _{1}$$= 0$ $a _{n} = a + ( n - 1 ) d$이므로 $( a + 4 d ) ( - 2 ) ^{4} + ( a + 3 d ) ( - 2 ) ^{3}$$+ ( a + 2 d ) ( - 2 ) ^{2} + ( a + d ) ( - 2 ) + a$ $= 16 \left( a + 4 d \right) - 8 ( a + 3 d ) + 4 ( a + 2 d ) - 2 ( a + d ) + a$ $= 11 a + 46 d$$= 0$ $\displaystyle d = \mathit{-} \frac{11}{46} a$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} \ne 0$이므로 $\displaystyle \frac{a _{1}}{a _{k+1}}$$\displaystyle = \frac{a}{a _{5}}$$\displaystyle = \frac{a}{a + 4 d}$$\displaystyle = \frac{a}{a - \frac{22}{23} a}$$\displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{23}}$$= 23$