등차수열 공차 조건

[출제의도] 등차수열의 성질과 합을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 등차수열의 공차를 구할 수 있는가? $a _{1}$$= \mathit{-} 45$$< 0$이고 $d > 0$이므로 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 $a _{m} < 0$, $a _{m + 3} > 0$ 즉, $- a _{m}$$= a _{m + 3}$에서 $a _{m} + a _{m + 3}$$= 0$ 따라서 $\left\{ - 45 + \left( m - 1 \right) d \right\} + \left\{ - 45 + \left( m + 2 \right) d \right\}$$= 0$ $\mathit{-} 90 + \left( 2 m + 1 \right) d$$= 0$ $\left( 2 m + 1 \right) d$$= 90$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이고 $2 m + 1$은 $1$보다 큰 홀수이므로 $d$는 짝수이다. 그런데, $90$$= 2 \times 3 ^{2} \times 5$이므로 ㉠을 만족시키는 $90$의 약수 중에서 짝수인 것은 $2 , 6 , 10 , 18 , 30$이다. 또한, 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$$\displaystyle = \frac{n \left\{ 2 \times \left( - 45 \right) + \left( n - 1 \right) d \right\}}{2}$$> - 100$ $n \left\{ - 90 + \left( n - 1 \right) d \right\}$$> - 200$ $\cdots \cdots$ ㉡ 따라서 $2 , 6 , 10 , 18 , 30$ 중에서 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉡을 만족시키는 경우는 $18 , 30$이므로 구하는 모든 자연수 $d$의 값의 합은 $18 + 30$$= 48$