등차수열 최솟값

조건 (가)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n} + a _{n + 2}}{2}$이므로 $a _{n + 1}$은 $a _{n}$과 $a _{n + 2}$의 등차중항이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 등차수열이다. 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a \left( a > 0 \right)$, 공차를 $d \left( d \geq 0 \right)$이라 하면 조건 (나)에서 $a _{3} \times a _{22} = \left( a + 2 d \right) \left( a + 21 d \right) = a ^{2} + 23 ad + 42 d ^{2}$ $a _{7} \times a _{8} + 10$$= \left( a + 6 d \right) \left( a + 7 d \right) + 10$$= a ^{2} + 13 ad + 42 d ^{2} + 10$ $a ^{2} + 23 a d + 42 d ^{2} = a ^{2} + 13 a d + 42 d ^{2} + 10$이므로 $23 a d = 13 a d + 10$, $10 a d = 10$, $a d = 1$ 조건 (가)에 의해 $a _{4} + a _{6} = 2 a _{5} = 2 a + 8 d$ 절대부등식의 성질에 의해 $\displaystyle a _{4} + a _{6} \geq 2 \sqrt{2 a \times 8 d} = 2 \sqrt{16 ad} = 2 \times 4 = 8$ (단, 등호는 $2 a = 8 d$일 때 성립) 따라서 $a _{4} + a _{6}$의 최솟값은 $\mathrm{8}$ [다른 풀이] 조건 (가)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n} + a _{n + 2}}{2}$이므로 $a _{n + 1}$은 $a _{n}$과 $a _{n + 2}$의 등차중항이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 등차수열이다. 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d \left( d \geq 0 \right)$이라 하자. $a _{4} + a _{6} = 2 a _{5}$ 조건 (나)에서 $a _{3} \times a _{22} = \left( a _{5} - 2 d \right) \left( a _{5} + 17 d \right)$ $a _{7} \times a _{8} + 10 = \left( a _{5} + 2 d \right) \left( a _{5} + 3 d \right) + 10$이므로 $\left( a _{5} - 2 d \right) \left( a _{5} + 17 d \right) = \left( a _{5} + 2 d \right) \left( a _{5} + 3 d \right) + 10$ $a _{5} ^{2} + 15 da _{5} - 34 d ^{2} = a _{5} ^{2} + 5 da _{5} + 6 d ^{2} + 10$ $10 da _{5} = 40 d ^{2} + 10$, $\displaystyle a _{5} = 4 d + \frac{1}{d}$ 절대부등식의 성질에 의해 $\displaystyle a _{4} + a _{6} = 2 a _{5} = 8 d + \frac{2}{d} \geq 2 \sqrt{8 d \times \frac{2}{d}} = 8$ (단, 등호는 $\displaystyle 8 d = \frac{2}{d}$일 때 성립) 따라서 $a _{4} + a _{6}$의 최솟값은 $\mathrm{8}$