등차수열 부호 조건

[출제의도] 등차수열 이해하기 구하는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차가 자연수이므로 $d > 0$ 조건 (가)에서 $a _{1} + 7 d = 2 \left( a _{1} + 4 d \right) + 10$, $a _{1} = - d - 10 < 0$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} < a _{n + 1}$이므로 $a _{n} < 0$을 만족시키는 자연수 $n$의 최댓값을 $k$라 하면 $a _{k + 1} \geq 0$ 그러므로 $a _{k} \times a _{k + 1} \leq 0$ 그런데 조건 (나)에서 $a _{k} \times a _{k + 1} \geq 0$이므로 $a _{k + 1} = 0$ $a _{k + 1} = \left( - d - 10 \right) + kd = 0$에서 $\displaystyle k = \frac{10}{d} + 1$ $k$가 자연수이므로 $d$는 $\mathrm{10}$의 약수이다. 따라서 구하는 모든 자연수 $d$의 값의 합은 $1 + 2 + 5 + 10 = 18$