등차 등비 세 점

세 점 $\mathrm{A} ( \mathit{a} , p ) , \mathrm{B} ( \mathit{b} , q ) , \mathrm{C} ( \mathit{c} , r )$에서 $a , b , c$는 차례로 등차수열을 이루고, $p , q , r$는 차례로 등비수열을 이루므로 $2 b = a + c$$\cdots \cdots$ ㉠ $q ^{2} = pr$$\cdots \cdots$㉡ ㄱ. $f ( x ) = x$ 위의 세 점을 잡으면 ${\mathrm{A}} ( \mathit{a} , a ) , {\mathrm{B}} ( \mathit{b} , b ) , {\mathrm{C}} ( \mathit{c} , c )$ 이므로 ㉡은 $b ^{2} = ac$$\cdots \cdots$㉢ ㉠의 양변을 제곱하면 $4 b ^{2} = a ^{2} + 2 ac + c ^{2}$ ㉢을 대입하면 $4 ac = a ^{2} + 2 ac + c ^{2}$ $( a - c ) ^{2} = 0$ $\therefore a = c$ 그런데, 문제에서 $a \neq c$이므로 조건을 만족하는 함수가 아니다. ㄴ. $\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{x}$ 위의 세 점을 잡으면 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \mathit{a} , \frac{1}{a} \right) , {\mathrm{B}} \left( \mathit{b} , \frac{1}{b} \right) , {\mathrm{C}} \left( \mathit{c} , \frac{1}{c} \right)$ 이므로 ㉡은 $\displaystyle \frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{ac}$$\cdots \cdots$㉢ 즉, $b ^{2} = ac$이므로 $a = c ( \because \text{㉠} )$가 되어 문제의 조건을 만족하는 함수가 아니다. ㄷ. $h ( x ) = 2 ^{x}$ 위의 세 점을 잡으면 ${\mathrm{A}} \left( \mathit{a} , 2 ^{a} \right) , {\mathrm{B}} \left( \mathit{b} , 2 ^{b} \right) , {\mathrm{C}} \left( \mathit{c} , 2 ^{c} \right)$ 이므로 ㉡은 $( 2 ^{b} ) ^{2} = 2 ^{a} \cdot 2 ^{c}$, 즉 $2 ^{2b} = 2 ^{a+c}$ $\therefore 2 b = a + c$ 따라서, ㉠과 같은 조건이 되므로 $2 b = a + c$를 만족하는 모든 실수 $a , b , c$에 대하여 문제의 조건이 성립한다. (예. $a = 1 , b = 2 , c = 3$) 그러므로 조건을 만족하는 것은 ㄷ뿐이다.