대수수학적 귀납법AI기본 문제 (3점 중반)

등차×등비 합 과정의 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 S=∑k=1nk⋅2k\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \cdot 2 ^{k}을 구하는 과정이다.

S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2nS = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 ^{2} + 3 \cdot 2 ^{3} + \cdots + n \cdot 2 ^{n} …… ㉠ ㉠의 양변에 22를 곱하면 2S=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+12 S = 1 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{3} + \cdots + ( n - 1 ) \cdot 2 ^{n} + n \cdot 2 ^{n + 1} …… ㉡ ㉠에서 ㉡을 변끼리 빼면 −S=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1- S = 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{n} - n \cdot 2 ^{n + 1} == (가) −n⋅2n+1- n \cdot 2 ^{n + 1} 따라서 S=S = (나)

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(3)+g(3)f ( 3 ) + g ( 3 )의 값은? [3점] ①4444②4646③4848④5050⑤5252

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③

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해설

2+22+⋯+2n2 + 2 ^{2} + \cdots + 2 ^{n}은 첫째항이 22, 공비가 22인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 2+22+⋯+2n=2(2n−1)2−1=2n+1−2\displaystyle 2 + 2 ^{2} + \cdots + 2 ^{n} = \frac{2 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2 ^{n + 1} - 2 즉 f(n)=2n+1−2f ( n ) = 2 ^{n + 1} - 2 −S=2n+1−2−n⋅2n+1- S = 2 ^{n + 1} - 2 - n \cdot 2 ^{n + 1}에서 S=n⋅2n+1−2n+1+2=(n−1)⋅2n+1+2S = n \cdot 2 ^{n + 1} - 2 ^{n + 1} + 2 = ( n - 1 ) \cdot 2 ^{n + 1} + 2 즉 g(n)=(n−1)⋅2n+1+2g ( n ) = ( n - 1 ) \cdot 2 ^{n + 1} + 2 f(3)=24−2=14f ( 3 ) = 2 ^{4} - 2 = 14, g(3)=2⋅24+2=34g ( 3 ) = 2 \cdot 2 ^{4} + 2 = 34 따라서 f(3)+g(3)=48f ( 3 ) + g ( 3 ) = 48이므로 답은 ③

태그

#빈칸 추론#등비수열의 합#수열의 합

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