대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열의 합

문제

공비가 양수인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 4(S4−S2)=S6−S44 \left( S _{4} - S _{2} \right) = S _{6} - S _{4}, a3=12a _{3} = 12 일 때, S3S _{3}의 값은? [3점] ①18\mathrm{18}②21\mathrm{21}③24\mathrm{24}④27\mathrm{27}⑤30\mathrm{30}

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②

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해설

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 r(r>0)r \left( r > 0 \right)이라 하면 S4−S2=a3+a4=a1r2(1+r)S _{4} - S _{2} = a _{3} + a _{4} = a _{1} r ^{2} \left( 1 + r \right) S6−S4=a5+a6=a1r4(1+r)S _{6} - S _{4} = a _{5} + a _{6} = a _{1} r ^{4} \left( 1 + r \right) 4(S4−S2)=S6−S44 \left( S _{4} - S _{2} \right) = S _{6} - S _{4}이므로 4a1r2(1+r)=a1r4(1+r)4 a _{1} r ^{2} \left( 1 + r \right) = a _{1} r ^{4} \left( 1 + r \right) a1≠0a _{1} \ne 0이고 r2=4r ^{2} = 4이므로 r=2r = 2 a3=12a _{3} = 12에서 a1×22=12a _{1} \times 2 ^{2} = 12, a1=3a _{1} = 3 따라서 S3=a1+a2+a3=3+3×2+3×22=21S _{3} = a _{1} + a _{2} + a _{3} = 3 + 3 \times 2 + 3 \times 2 ^{2} = 21

태그

#등비수열#수열의 합

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