대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등비수열과 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제 nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) S2n−1=1S _{2 n - 1} = 1 (나) 수열 {anan+1}\left\{ a _{n} a _{n + 1} \right\}은 등비수열이다.

S10=33S _{10} = 33일 때, S18S _{18}의 값을 구하시오. [4점]

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513

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 문제 해결하기 조건 (가)에서 S1=a1=1S _{1} = a _{1} = 1 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}을 bn=anan+1b _{n} = a _{n} a _{n + 1}이라 하자. 조건 (나)에서 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비를 rr라 하면 bn+1bn=an+1an+2anan+1=r\displaystyle \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{a _{n + 1} a _{n + 2}}{a _{n} a _{n + 1}} = r, an+2=rana _{n + 2} = ra _{n} S10S _{10}=S11−a11= S _{11} - a _{11}=1−r5= 1 - r ^{5}=33= 33 r5=−32r ^{5} = - 32, r=−2r = - 2 S18S _{18}=S19−a19= S _{19} - a _{19}=1−r9= 1 - r ^{9}=513= 513

태그

#등비수열#수열의 합

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