등비수열 합 조건

모든 자연수 $n$에 대하여 $S _{n + 3} - S _{n} = 13 \times 3 ^{n - 1}$ 이 성립하고 $S _{n + 3} - S _{n} = a _{n+1} + a _{n+2} + a _{n+3}$ 이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n+1} + a _{n+2} + a _{n+3} = 13 \times 3 ^{n - 1}$ ⋯ ㉠ 이 성립한다. ㉠에 $n = 1$을 대입하면 $a _{2} + a _{3} + a _{4} = 13$이므로 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하면 $a _{1} r + a _{1} r ^{2} + a _{1} r ^{3} = 13$ $a _{1} r ( 1 + r + r ^{2} ) = 13$ ⋯ ㉡ 또, ㉠에 $n = 2$를 대입하면 $a _{3} + a _{4} + a _{5} = 13 \times 3 = 39$이므로 $a _{1} r ^{2} + a _{1} r ^{3} + a _{1} r ^{4} = 39$ $a _{1} r ^{2} ( 1 + r + r ^{2} ) = 39$ ⋯ ㉢ ㉢÷㉡을 하면 $\displaystyle \frac{a _{1} r ^{2} ( 1 + r + r ^{2} )}{a _{1} r ( 1 + r + r ^{2} )} = \frac{39}{13}$에서 $r = 3$ $r = 3$을 ㉡에 대입하면 $a _{1} \times 3 \times ( 1 + 3 + 9 ) = 13$에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3}$ 따라서 $\displaystyle a _{4} = a _{1} r ^{3} = \frac{1}{3} \times 3 ^{3} = 9$ [다른 풀이] $a _{n+1} + a _{n+2} + a _{n+3} = 13 \times 3 ^{n - 1}$ $a _{n+2} + a _{n+3} + a _{n+4} = 13 \times 3 ^{n}$ 에서 $r = 3$을 쉽게 구할 수 있다.