등비수열 항 번호 합

[출제의도] 등비수열의 공비를 이용하여 문제를 해결한다. $A ( 200 )$은 조건의 등비수열에서 제$k$항이 $3 \times 2 ^{200}$이 되는 모든 $k$의 값의 합이다. 공비를 $2 ^{p}$이라 하면 $\displaystyle 2 ^{200} = \left( 2 ^{p} \right) ^{\frac{200}{p}}$이고 $\displaystyle \frac{200}{p}$은 자연수이어야 하므로 $p$는 $200$의 양의 약수이다. 그러므로 $3 \times 2 ^{200}$$\displaystyle = 3 \times \left( 2 ^{p} \right) ^{\frac{200}{p}}$은 첫째항이 $3$이고 공비가 $2 ^{p}$인 등비수열의 제$\displaystyle \left( \frac{200}{p} + 1 \right)$항이다. $200 = 2 ^{3} \times 5 ^{2}$이므로 $200$의 모든 양의 약수는 $1$, $2$, $2 ^{2}$, $2 ^{3}$, $5$, $2 \times 5$, $2 ^{2} \times 5$, $2 ^{3} \times 5$, $5 ^{2}$, $2 \times 5 ^{2}$, $2 ^{2} \times 5 ^{2}$, $2 ^{3} \times 5 ^{2}$ 따라서 $A ( 200 )$$= \left( 2 ^{3} \times 5 ^{2} + 1 \right) + \left( 2 ^{2} \times 5 ^{2} + 1 \right) + \cdots + \left( 2 + 1 \right) + \left( 1 + 1 \right)$ $= \left( 2 ^{3} \times 5 ^{2} + 2 ^{2} \times 5 ^{2} + \cdots + 2 + 1 \right) + 12$$= 465 + 12$$= 477$