대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열 공비의 최댓값

문제

모든 항이 양수이고 공비가 서로 같은 두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 anbn=(an+1)2+4(bn+1)25\displaystyle a _{n} b _{n} = \frac{( a _{n + 1} ) ^{2} + 4 ( b _{n + 1} ) ^{2}}{5} 를 만족시킬 때, 공비의 최댓값은? [4점] ①552\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}②52\displaystyle \frac{5}{2}③52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}④5\displaystyle \sqrt{5}⑤1

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③

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해설

an=arn−1a _{n} = a r ^{n - 1}, bn=brn−1b _{n} = b r ^{n - 1} 라고 하면 abr2n−2=a2r2n+4b2r2n5\displaystyle abr ^{2 n - 2} = \frac{a ^{2} r ^{2 n} + 4 b ^{2} r ^{2 n}}{5} r2=5aba2+4b2=5ab+4ba≤52ab×4ba=54\displaystyle r ^{2} = \frac{5 ab}{a ^{2} + 4 b ^{2}} = \frac{5}{\frac{a}{b} + \frac{4 b}{a}} \leq \frac{5}{2 \sqrt{\frac{a}{b} \times \frac{4 b}{a}}} = \frac{5}{4} 등호는 ab=4ba\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{4 b}{a}, 즉 a2=4b2a ^{2} = 4 b ^{2}일 때 성립하고 구하는 rr의 최댓값은 52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}이다.

태그

#등비수열#산술기하평균

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