등비수열 부분집합

$\left. U = \left\{ r ^{k} \right| k \text{는} 102 \text{이하의} \text{자연수} \right\}$의 부분집합 $A$의 원소들은 모두 $r$의 거듭제곱으로 표현된다. (가)에 의해 $r \in A$ (나)에 의해 집합 $A$의 원소들을 작은 수부터 차례대로 배열한 수열은 등비수열이고 $r > 1$이므로 첫째항은 $r$이다. 공비를 $r ^{a}$($a$는 자연수)라 하면 일반항은 $r \left( r ^{a} \right) ^{n - 1}$$\left( n \geq 2 \right)$이다. $r ^{31} \in A$, $r ^{100} \in A$이므로 두 자연수 $n _{1}$, $n _{2}$에 대하여 $r \left( r ^{a} \right) ^{n _{1} - 1} = r ^{31}$, $r \left( r ^{a} \right) ^{n _{2} - 1} = r ^{100}$ $r ^{a \left( n _{1} - 1 \right)} = r ^{30}$, $r ^{a \left( n _{2} - 1 \right)} = r ^{99}$ 따라서 $a$는 $30$과 $99$의 공약수이므로 $a = 1$ 또는 $a = 3$ (다)에 의해 $A$는 전체집합 $U$의 진부분집합이므로 $a = 3$이고, 일반항은 $r \left( r ^{3} \right) ^{n - 1} = r ^{3 n - 2}$ 전체집합 $U$의 원소들의 합은 첫째항이 $r$, 공비가 $r$인 등비수열의 제$102$항까지의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{r \left( r ^{102} - 1 \right)}{r - 1}$이다. 집합 $A$의 원소의 개수를 $n$이라 하면 $3 n - 2 \leq 102$, $n \leq 34$ 집합 $A$의 원소들의 합은 첫째항이 $r$, 공비가 $r ^{3}$인 등비수열의 제$34$항까지의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{r \left\{ \left( r ^{3} \right) ^{34} - 1 \right\}}{r ^{3} - 1}$이다. $\displaystyle \frac{r \left( r ^{102} - 1 \right)}{r - 1}$$\displaystyle = 91 \times \frac{r \left( r ^{102} - 1 \right)}{r ^{3} - 1}$$\displaystyle = 91 \times \frac{r \left( r ^{102} - 1 \right)}{r - 1} \times \frac{1}{r ^{2} + r + 1}$ $r ^{2} + r + 1 = 91$ $r ^{2} + r - 90 = \left( r + 10 \right) \left( r - 9 \right) = 0$ $\therefore$ $r = \mathit{-} 10$ 또는 $r = 9$ 따라서 $r = 9$