등비수열 배열의 나머지

[출제의도] 수열의 규칙을 추론하여 수학 내적 문제 해결하기 $b _{n} =$ ($3 ^{n - 1}$을 $5$로 나눈 나머지) 라 하자. $3 ^{4}$을 $5$로 나눈 나머지가 $1$이므로 자연수 $k$에 대하여 $b _{1} = b _{5} = b _{9} = \cdots = b _{4k-3} = 1$ $b _{2} = b _{6} = b _{10} = \cdots = b _{4 k - 2} = 3$ $b _{3} = b _{7} = b _{11} = \cdots = b _{4 k - 1} = 4$ $b _{4} = b _{8} = b _{12} = \cdots = b _{4 k} = 2$ 이므로 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 $1 , 3 , 4 , 2 , 1 , 3 , 4 , 2 , 1 , \cdots$ 그러므로 $a _{1} = 0$ $a _{2} = a _{3} = a _{4} = a _{5} = 1$ $a _{6} = a _{7} = a _{8} = a _{9} = 2$ $a _{10} = a _{11} = a _{12} = a _{13} = 3$ $a _{14} = a _{15} = a _{16} = a _{17} = 4$ $a _{18} = a _{19} = a _{20} = 5$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k}$$= 0 + \left( 1 \times 4 \right) + \left( 2 \times 4 \right) + \left( 3 \times 4 \right) + \left( 4 \times 4 \right) + \left( 5 \times 3 \right)$$= 55$