등비급수와 구간별 수열

[출제의도] 등비급수를 이용하여 추론하기 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하면 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \frac{a}{1 - r} = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{a _{n}}{b _{n}} \right\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n}} = {\begin{cases} 1 & & \left( \left| a _{n} \right| < \alpha \right) \\ - \frac{a _{n} ^{2}}{5} & & \left( \left| a _{n} \right| \geq \alpha \right) \end{cases}}$ 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left| a _{n} \right| < \alpha$라 하면 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{m} \frac{a _{n}}{b _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{m} 1 = m$의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$의 값은 $\mathrm{1}$이므로 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{1} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{1} a _{n} = a = 51$ ㉠에 의하여 $\displaystyle r = - \frac{47}{4} < \mathit{-} 1$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$이 수렴한다는 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 $\left| a _{k} \right| \geq \alpha$, $\left| a _{k + 1} \right| < \alpha$인 자연수 $k$가 존재한다. $1 \leq n \leq k$일 때, $\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n}} = - \frac{a _{n} \mathit{^{2}}}{5} < 0$ $n \geq k + 1$일 때, $\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n}} = 1 > 0$ 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{m} \frac{a _{n}}{b _{n}}$의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$은 $k$이고 $\displaystyle \sum\limits _{n = k + 1} ^{\infty} b _{n} = \sum\limits _{n = k + 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{ar ^{k}}{1 - r} = \frac{1}{64}$ ㉠에 의하여 $\displaystyle r ^{k} = \frac{1}{256}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{k} b _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{k} \left( - \frac{5}{a _{n}} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{k} \left\{ - \frac{5}{a} \left( \frac{1}{r} \right) ^{n - 1} \right\}$ $\displaystyle = \frac{- \frac{5}{a} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{r} \right) ^{k} \right\}}{1 - \frac{1}{r}} = 51$ $\displaystyle r ^{k} = \frac{1}{256}$이므로 $a ( r - 1 ) = 25 r$ ㉠에 의하여 $4 \left( 1 - r \right) \left( r - 1 \right) = 25 r$, $4 r ^{2} + 17 r + 4 = 0$ $- 1 < r < 1$이므로 $\displaystyle r = - \frac{1}{4}$, $a = 5$ 그러므로 $p = k = 4$ 따라서 $\displaystyle 32 \times \left( a _{3} + p \right) = 32 \times \left\{ 5 \times \left( - \frac{1}{4} \right) ^{2} + 4 \right\} = 138$