대수수학적 귀납법AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비 분모 합 과정의 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 S=∑k=1nk2k\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{2 ^{k}}을 구하는 과정이다.

S=12+222+323+⋯+n2n\displaystyle S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2 ^{2}} + \frac{3}{2 ^{3}} + \cdots + \frac{n}{2 ^{n}} …… ㉠ ㉠의 양변에 12\displaystyle \frac{1}{2}을 곱하면 12S=122+223+⋯+n−12n+n2n+1\displaystyle \frac{1}{2} S = \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{2}{2 ^{3}} + \cdots + \frac{n - 1}{2 ^{n}} + \frac{n}{2 ^{n + 1}} …… ㉡ ㉠에서 ㉡을 변끼리 빼면 12S=12+122+123+⋯+12n−n2n+1\displaystyle \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{3}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{n}{2 ^{n + 1}} == (가) −n2n+1\displaystyle - \frac{n}{2 ^{n + 1}} 따라서 S=2−S = 2 - (나)

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(4)+g(4)f ( 4 ) + g ( 4 )의 값은? [4점] ①54\displaystyle \frac{5}{4}②2116\displaystyle \frac{21}{16}③118\displaystyle \frac{11}{8}④2316\displaystyle \frac{23}{16}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

12+122+⋯+12n\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n}}은 첫째항이 12\displaystyle \frac{1}{2}, 공비가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 12+122+⋯+12n=12{1−(12)n}1−12=1−12n\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} 즉 f(n)=1−12n\displaystyle f ( n ) = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} 12S=1−12n−n2n+1=1−22n+1−n2n+1=1−n+22n+1\displaystyle \frac{1}{2} S = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{n}{2 ^{n + 1}} = 1 - \frac{2}{2 ^{n + 1}} - \frac{n}{2 ^{n + 1}} = 1 - \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}}이므로 S=2−n+22n\displaystyle S = 2 - \frac{n + 2}{2 ^{n}}, 즉 g(n)=n+22n\displaystyle g ( n ) = \frac{n + 2}{2 ^{n}} f(4)=1−116=1516\displaystyle f ( 4 ) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, g(4)=616\displaystyle g ( 4 ) = \frac{6}{16} 따라서 f(4)+g(4)=2116\displaystyle f ( 4 ) + g ( 4 ) = \frac{21}{16}이므로 답은 ②

태그

#빈칸 추론#등비수열의 합#수열의 합

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