단위원 위 점 증명

[출제의도] 원에서의 증명문제 완성하기 두 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( p , q \right)} , \mathrm{B} \mathit{\left( r , s \right)}$가 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 1 \cdots \cdots \text{㉠}$ $r ^{2} + s ^{2} = 1 \cdots \cdots \text{㉡}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB} \mathit{^{2}}} = \left( r - p \right) ^{2} + \left( s - q \right) ^{2} = 2 \times$$( 1 - pr - qs )$ $= 2$ 에서 $1 - pr - qs$ $= 1 \cdots \cdots \text{㉢}$ $\text{㉢}$을 $q$에 대하여 정리하여 $\text{㉠}$식에 대입하면 $\displaystyle p ^{2} + q ^{2} = p ^{2} \left( 1 + \frac{r ^{2}}{s ^{2}} \right) = 1$이므로 $p ^{2} = s ^{2}$ 이 성립 따라서, $p ^{2} + r ^{2} = q ^{2} + s ^{2} = 1$ 이므로 두 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( p , r \right)}$, $\mathrm{D} \mathit{\left( q , s \right)}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} ^{2} = \left( q - p \right) ^{2} + \left( s - r \right) ^{2} = 2 - 2 \left( pq + rs \right)$ $\text{㉢}$과 $p ^{2} = s ^{2}$ 에 의하여 $pq + rs = 0$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} =$$\displaystyle \sqrt{2}$