닮은 삼각형과 선분

[출제의도] 코사인법칙과 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수 있는가? 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\mathrm{\angle} BAC = \angle BDA$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 4$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이때 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \overline{AB} \cos \left( \angle BAC \right) = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 1$

삼각형 $\mathrm{BCD}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{DB}} = \overline{DC} = 4$인 이등변삼각형이다. 점 $\mathrm{D}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}' ,$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH'}}$$= x \sin \left( \angle \mathrm{H}' ED \right)$$\displaystyle = x \times \sqrt{1 - \left( \frac{1}{8} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{63}}{8} x$ $\cdots \cdots$ ㉡

한편, 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2}$ $\displaystyle = - 2 \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{AC} \times \cos \left( \angle BAC \right)$ $\displaystyle = 4 ^{2} + 5 ^{2} - 2 \times 4 \times 5 \times \frac{1}{8}$ $= 36$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 6$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH'}} = \frac{1}{2} \overline{BC} = 3$ $\cdots \cdots$ ㉢ 직각삼각형 $\mathrm{DBH}'$에서 ㉠, ㉡, ㉢을 이용하면 $\displaystyle 4 ^{2} = \left( \frac{\sqrt{63}}{8} x \right) ^{2} + 3 ^{2}$ $\displaystyle \frac{63}{64} x ^{2} = 7$ $\displaystyle x ^{2} = \frac{64}{9}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \mathit{x}$이므로 $x > 0$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \frac{8}{3}$