다항식의 나머지

다항식 $f ( x )$를 $x ^{2} + x - 6$으로 나눈 몫을 $Q ( x )$라 하면 $f ( x ) = ( x ^{2} + x - 6 ) \bullet Q ( x ) + 5 x - 1$ $= ( x - 2 ) ( x + 3 ) \bullet Q ( x ) + 5 x - 1$ ……… ㉠ ㉠에 $x = 2$를 대입하면 $f ( 2 ) = 9$ ㉠에 $x = - 3$을 대입하면 $f ( - 3 ) = - 16$ 다항식 $f ( 2 x + 3 )$을 $2 x + 1$로 나눈 몫을 $Q _{1} ( x )$, 나머지를 $R _{1} ( x )$라 하면 $f ( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 1 ) \bullet Q _{1} ( x ) + R _{1} ( x )$ ……… ㉡ ㉡에 $\displaystyle x = - \frac{1}{2}$을 대입하면 $\displaystyle R _{1} \left( - \frac{1}{2} \right) = f ( 2 ) = 9$ 따라서 $f ( 2 x + 3 )$을 $2 x + 1$로 나눈 나머지는 9이다. [다른풀이] 다항식 $f ( x )$를 $x ^{2} + x - 6$으로 나눈 몫을 $Q ( x )$라 하면 $f ( x ) = ( x ^{2} + x - 6 ) \bullet Q ( x ) + 5 x - 1$ $= ( x - 2 ) ( x + 3 ) \bullet Q ( x ) + 5 x - 1$ $f ( 2 x + 3 )$$= ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 6 ) Q ( 2 x + 3 ) + 5 ( 2 x + 3 ) - 1$ $= ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 6 ) Q ( 2 x + 3 ) + 5 ( 2 x + 1 ) + 10 - 1$ $= ( 2 x + 1 )${$( 2 x + 6 ) Q ( 2 x + 3 ) + 5$}$+ 9$ 따라서 $f ( 2 x + 3 )$을 $2 x + 1$로 나눈 나머지는 9이다.