다항식 나머지조건과 최솟값

$ax ^{3} + bx ^{2} + cx - 8 = ( x - 1 ) ^{2} {\mathrm{Q}} ( x )$ 이므로 ${\mathrm{Q}} ( x ) = ax + k$로 놓으면 $ax ^{3} + bx ^{2} + cx - 8 = ( x - 1 ) ^{2} ( ax + k )$ $= ( x ^{2} - 2 x + 1 ) ( ax + k )$ $= ax ^{3} + ( k - 2 a ) x ^{2} + ( a - 2 k ) x + k$ 위 식은 $x$에 관한 항등식이므로 각 항의 계수가 서로 같아야 한다. $\therefore k = - 8 , b = - 2 a - 8 , c = a + 16$ 따라서 $4 a ^{2} + b ^{2} = 4 a ^{2} + ( - 2 a - 8 ) ^{2} = 8 a ^{2} + 32 a + 64$ $= 8 ( a + 2 ) ^{2} + 32$ 따라서 $a = - 2$일 때, 최솟값 $32$를 갖는다.