다항식 조건과 나머지

[출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\left\{ f \left( x + 1 \right) \right\} ^{2} = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + 5 ) + 9$에서 $\begin{aligned} \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} & = x ( x - 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 6 ) + 9 \\ & = \left( x ^{2} - 2 x \right) \left( x ^{2} - 2 x + 6 \right) + 9 \\ & = \left( x ^{2} - 2 x + 3 \right) ^{2} \end{aligned}$ $f \left( x \right) < 0$이므로 $f ( x ) = - x ^{2} + 2 x - 3$ $f \left( x + a \right) = - \left( x + a \right) ^{2} + 2 \left( x + a \right) - 3$에 대하여 $f \left( x + a \right) = g \left( x \right)$라 하면 $g \left( x \right)$를 $x - 2$로 나눈 나머지가 $- 6$이 되기 위해서는 $g \left( 2 \right) = - \left( 2 + a \right) ^{2} + 2 \left( 2 + a \right) - 3 = - 6$ 따라서 $a ^{2} + 2 a - 3 = 0$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 모든 상수 $a$의 값의 곱은 $- 3$