다항식 조건 나머지

[출제의도] 항등식 문제 해결하기 (가), (나)에 의하여, $4 x \left( x + 1 \right) f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + 2 x + b$이다. ⅰ) 양변에 $x = 0$을 대입하면 $b = 0$ ⅱ) 양변에 $x = \mathit{-} 1$을 대입하면 $a = 3$ 따라서 $4 x \left( x + 1 \right) f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x$$= x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$ 항등식의 성질에 의하여 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$이다. 조건 (가)에 의해 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{4} x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{2}$이다. 따라서 $g \left( x \right)$를 $x - 4$로 나눈 나머지는 $g \left( 4 \right) = 24$이다. [다른 풀이] (가), (나)에 의하여, $4 x \left( x + 1 \right) f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + 2 x + b$이다. ⅰ) 양변에 $x = 0$을 대입하면 $b = 0$ ⅱ) 양변에 $x = \mathit{-} 1$을 대입하면 $a = 3$ 따라서 $4 x \left( x + 1 \right) f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x$$= x \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right)$ 양변에 $x = 4$를 대입하면 $80 f \left( 4 \right) = 120$이므로 $\displaystyle f \left( 4 \right) = \frac{3}{2}$이고, $g \left( 4 \right) = 16 f \left( 4 \right) = 24$이다.