다항식 항등식 보기

[출제의도] 나머지 정리를 이용하여 추론하기 ㄱ. $\left\{ f \left( 0 \right) \right\} ^{3} = 1$이므로 $f \left( 0 \right) = 1$ (참) ㄴ. $f \left( x \right)$의 차수를 $n$이라 하면 좌변의 차수는 $3 n$, 우변의 차수는 $n + 2$이므로 $n = 1$ $f \left( x \right) = ax + b$라 하면 좌변의 최고차항의 계수는 $a ^{3}$, 우변의 최고차항의 계수는 $4 a$이므로 $a ^{3} = 4 a$ $a > 0$이므로 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 $2$ (거짓) ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해 $f \left( x \right) = 2 x + 1$이므로 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3}$을 $x ^{2} - 1$로 나눈 몫을 $Q ( x )$, 나머지를 $cx + d$라 하면 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3} = \left( x ^{2} - 1 \right) Q \left( x \right) + cx + d$이므로 $\left\{ f \left( 1 \right) \right\} ^{3} = c + d = 27$ $\left\{ f \left( - 1 \right) \right\} ^{3} = - c + d = - 1$ 이를 연립하여 풀면 $c = 14$, $d = 13$ 따라서 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{3}$을 $x ^{2} - 1$로 나눈 나머지는 $14 x + 13$ (참)