다항식 보간 빈칸

다음은 $n$차 다항식 $P ( x )$가 $\displaystyle P ( k ) = \frac{k}{k + 1} ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots , n )$ 를 만족시킬 때, $P ( n + 1 )$의 값을 구하는 과정이다.

$n$차 다항식 $P ( x )$는 $( k + 1 ) P ( k ) - k = 0 ( k = 0 , 1 , 2 , \cdots , n )$ 을 만족시킨다. $Q ( x ) = ( x + 1 ) P ( x ) - x$ 라 두면 $Q ( x )$는 $n + 1$차 다항식이고 $Q ( 0 ) = Q ( 1 ) = Q ( 2 ) = \cdots = Q ( n ) = 0$ 이므로 $0$이 아닌 상수 $a$에 대하여 $Q ( x ) = a x ( x - 1 ) ( x - 2 ) \cdots ( x - n )$ 으로 나타낼 수 있다. 따라서 $( x + 1 ) P ( x ) - x$$= a x ( x - 1 ) ( x - 2 ) \cdots ( x - n )$ $\cdots \text{㉠}$ 이다. $\text{㉠}$의 양변에 $x = - 1$을 대입하면 $\displaystyle a = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{\square {( \text{가} )}}$ 이고, $\text{㉠}$의 양변에 $x = n + 1$을 대입하여 정리하면 $( n + 2 ) P ( n + 1 ) - ( n + 1 ) = \square {( \text{나} )}$ 이므로 $\displaystyle P ( n + 1 ) = \frac{\square {( \text{나} )} + n + 1}{n + 2}$ 이다. 따라서 $n$이 홀수이면 $P ( n + 1 ) = 1$이고, $n$이 짝수이면 $P ( n + 1 ) = \square {( \text{다} )}$이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( n ) , g ( n ) , h ( n )$이라 할 때, $\displaystyle \frac{f ( 4 ) \times g ( 5 )}{h ( 6 )}$의 값은? [4점] ①$150$②$155$③$160$④$165$⑤$170$