다항함수의 함수방정식과 극댓값

다항함수 $f$, $g$에 대하여 $f \left( x - g \left( y \right) \right)$$= \left( x + 4 y ^{2} - 1 \right) ^{3} - 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 성립한다. ㉠의 양변에 $y = 0$을 대입하면 $f \left( x - g \left( 0 \right) \right) = \left( x - 1 \right) ^{3} - 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $f \left( 0 \right) = 5$이므로 ㉡의 양변에 $x = 3$을 대입하면 $f \left( 3 - g \left( 0 \right) \right)$$= 2 ^{3} - 3 = 5$ $\therefore$ $g \left( 0 \right) = 3$ 따라서 ㉡에서 $f \left( x - 3 \right) = \left( x - 1 \right) ^{3} - 3$ $\therefore$ $f \left( x \right) = \left( x + 2 \right) ^{3} - 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉠에서 $x - g \left( y \right) = t$라 하면 $f \left( t \right)$$= \left( t + g \left( y \right) + 4 y ^{2} - 1 \right) ^{3} - 3$ 이 식과 ㉢을 비교하면 $g \left( y \right) + 4 y ^{2} - 3 = 0$ $\therefore$ $g \left( x \right) = - 4 x ^{2} + 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢과 ㉣에서 $h \left( x \right)$$= f \left( x \right) - g \left( x \right)$$= \left( x + 2 \right) ^{3} - 3 + 4 x ^{2} - 3$ $= x ^{3} + 10 x ^{2} + 12 x + 2$ $h' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} + 20 x + 12$$= \left( 3 x + 2 \right) \left( x + 6 \right)$ $h' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{2}{3}$ 또는 $x = - 6$ 함수 $h \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $h \left( x \right)$의 극댓값은 $h \left( - 6 \right) = 74$이다.